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  - 沪教版教参必修第一册·第1章
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# 第 1 章 集合与逻辑

> 拆分自 [[沪教版教参必修第一册]] · **第 1 章 集合与逻辑**（原文件第 235–674 行）。
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## 一、本章概述

### 总体要求

“在高中数学课程中, 集合是刻画一类事物的语言和工具. 本单元的学习, 可以帮助学生使用集合的语言简洁、准确地表述数学的研究对象, 学会用数学的语言表达和交流, 积累数学抽象的经验."

众所周知, 数学语言十分精确, 不容易产生歧义. 而用规范的数学语言来表述数学研究的对象时, 集合的语言是一种被广泛认可的方式. 本章的主要目的是希望学生能够了解并应用朴素的集合语言与逻辑语言来准确、简洁地表述数学对象, 并描述所研究的数学对象之间的相互关系.

集合是数学的语言, 而数学的内容是用逻辑的方式来组织的. 联系一个个数学意义上的事实的纽带就是逻辑. 学习一些最基本的逻辑,有助于使学生在思考时更加理性, 增强思辨能力.

在课程标准中, 本章内容被定位为 “预备知识” 的一部分. 本章重点关注的是用大众所公认的方式, 遵循一些特定的规则来进行数学的思考和表达. 学好本章是后续章节学习的基础, 也是能更好地与他人开展交流的必要条件.

经历集合与常用逻辑用语的学习, 对于培养与提升学生的数学抽象、逻辑推理等核心素养具有重要的意义.

### 课时安排建议

本章的课时安排建议为 7+1 ,共计 8 课时. 建议如下:

<table><tr><td>章节名</td><td>建议课时</td><td>具体课时分配建议</td></tr><tr><td rowspan="2">1.1 集合初步</td><td rowspan="2">4</td><td>集合 1 课时</td></tr><tr><td>集合的表示方法 1 课时</td></tr></table>

(续表)

<table><tr><td>章节名</td><td>建议课时</td><td>具体课时分配建议</td></tr><tr><td rowspan="2"/><td rowspan="2"/><td>集合之间的关系 1 课时</td></tr><tr><td>集合的运算 1 课时</td></tr><tr><td rowspan="3">1.2 常用逻辑用语</td><td rowspan="3">3</td><td>命题 1 课时</td></tr><tr><td>充分条件与必要条件 1 课时</td></tr><tr><td>反证法 1 课时</td></tr><tr><td>复习与小结</td><td>1</td><td/></tr></table>

### 内容编排与特色

本章内容共分为两节, 分别是 1.1 集合初步, 1.2 常用逻辑用语.

“1.1 集合初步”旨在介绍集合这一数学对象最基本的概念、关系及运算. 由于在高中阶段的数学学习中, 学生所接触到的集合绝大部分都是数集、点集以及由它们所生成的集合, 因此在编写本节教材内容时, 我们采取了从实际生活中引入集合的概念, 并在随后学习数学内容时不断展开与深入的模式. 在行文和选择例题、习题时, 所涉及的大多是从生活实际中抽象而得到的数学内容 (如申辉中学高一 (1) 班的全体学生组成一个集合, 以学校不同社团的成员为例引入集合的运算等), 以及与简单的数、 式和几何图形有关的例子(如 600 的正约数全体组成一个有限集, 用矩形和平行四边形的关系来作为子集关系的一个例子等).

正如课程标准中所指出的, 在本节的教学中, 应关注学生是否学会用三种语言 (自然语言、符号语言、图形语言)来表达数学研究的对象, 以及能否相互转换. 在编写本节教材内容时,我们也力图渗透有关的思想 (如利用数轴和文氏图来获取交集、 并集、补集这些抽象运算的直观感受).

相较于以往的教材, 本教材中集合是作为数学语言来学习的, 因此在教材正文中并没有介绍 “ $n$ 元集合的子集有 ${2}^{n}$ 个” “集合运算的分配律” “德 · 摩根 (de Morgan) 律” “容斥原理”等内容.

“1.2 常用逻辑用语”是在学过初中相关内容的基础上, 进一步明确数学中命题语言的精确含义. 我们编写了一个尽可能自洽的教学体系, 其中逻辑学意义上的“闭命题”(基本上可以理解为“能判断真假的、不带有变元的陈述句”) 在本教材中被称为“命题”, 而逻辑学意义上的“开命题” (“含有变元的陈述句”) 则称为“陈述句”. 把数学上的充分条件和必要条件用两个“陈述句” (也就是开命题) 之间的推出关系定义.

将“推出关系”和“充分条件、必要条件”分在两个课时里,是为了使学生有充足的时间来消化和习惯“推出关系”与推出符号 (“=>”) 这种表述逻辑关系的简洁有力的工具.

加入“反证法”这部分内容是综合考虑之后的结果. 因为不想要求学生记忆太多的逻辑术语,我们将课程标准要求中的“全称量词命题的否定、存在量词命题的否定”等内容都融入到“反证法”这一课时的教学内容中. 此外, 在后续章节的学习中, 反证法是一种运用得相当广泛的论证方法, 应该在本章将反证法这一内容适当地强调一下.

总的来说, 这一章的内容是为开展后续内容的教学作准备的, 主要目的是使学生通过学习, 明确怎样“用数学的语言进行规范的表述”.

### 教学提示

初中阶段数学知识相对具体, 高中阶段数学知识相对抽象. 教师应针对这一特征帮助学生完成从初中到高中数学学习的过渡, 包括知识与技能、方法与习惯、能力与态度等方面.

在集合、常用逻辑用语的教学中,教师应创设合适的教学情境,以义务教育阶段学过的数学内容为载体, 引导学生利用集合语言和常用逻辑, 梳理、表达已学过的相关数学内容; 应引导学生理解属于关系是集合概念中的一个重要的关系,了解元素 $a$ 与由元素 $a$ 组成的集合 $\{ a\}$ 的差异,即 $a \in  \{ a\} , a$ 与 $\{ a\}$ 不相同. 在梳理过程中,可以针对学生的不同情况, 采用自主学习与合作学习相结合的方式组织教学活动.

通过教学, 使学生能够在现实情境或数学情境中, 概括出数学对象的一般特征, 并用集合语言予以表达. 初步学会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表达数学研究对象, 并能进行相互转换. 掌握集合间的基本关系与基本运算. 能够借助常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流, 体会常用逻辑用语在逻辑推理中的作用.

### 评价建议

本章的教学评价应以过程性评价为主, 终结性评价相对来说不是十分必要.

在过程性评价中, 应密切关注学生口头与书面表达的规范性. 例如, 是否能正确区分“属于”这一元素与集合的关系与“包含于”这一集合与集合之间的关系,并能准确使用符号语言表示这些关系. 与课程标准要求的精神一致,在关注学生表达规范性的同时, 也要关注学生逻辑推理的过程是否合乎规则. 对于不规范的表达与非逻辑的推理模式应当及时指出并努力纠正.

评价的内容应以本章的重点 “集合语言” 与 “逻辑推理” 为主,不宜使用后续章节的学习内容(如用二次函数与二次方程的关系、函数的性质, 甚至是解析几何中曲线与方程等)作为载体, 对本章所学内容进行评价.

本章所学内容涉及的数学知识点不是很多, 终结性评价的必要性不大. 在学习后续章节时,本章的知识点还会被反复地使用,其终结性评价可以有机地融入到其他章节的评价之中.

本章重点考查数学抽象、逻辑推理等方面的核心素养.

#### 二、教材分析与教学建议

##### 1.1 集合初步

### 教学重点

集合的概念与表示,集合的基本关系,集合的基本运算:从实际情境中抽象出集合的概念, 学会以规范的方式用集合来表示已经学过的数学对象, 知道元素与集合之间的关系及集合的表示方法. 借助于文氏图及数轴等图形语言, 理解和辨识集合之间的包含关系与相等关系. 知道交集、并集、补集的相应符号, 理解这三种集合基本运算的意义; 会在简单情形下进行有限个集合之间的交、并运算, 会求一个集合的补集.

### 内容分析

集合是一种用来描述数学对象的重要语言, 它简明、确定, 是描述数学研究的对象及其相互关系的一个非常合适的工具. 高中数学所学的集合只是一种在朴素观点下的集合, 即教材中所说的, “满足一定要求或具有一定特征的对象放在一起或归为一类”“把一些确定的对象的全体叫做集合”. 严格地说, 这并不能算是集合的严格定义, 否则会产生一些逻辑上的悖论, 如罗素(Russell)悖论等. 然而, 使用这个朴素的集合概念已足以满足高中数学所提出的 “用来表示数学对象” 的要求了.

介绍完集合之后, 给出属于关系的概念和相应的符号是非常自然的.

在以往教材中, 讲集合的概念之后立即就会提到三个性质: 确定性、互异性、无序性. 本教材没有采用这种“先讲性质、后举例子”的方式,这与本教材力图贯彻“从特殊到一般”的理念相符. 此外,“确定性”是因为集合本身所要求的,但“互异性”和 “无序性”并不是, 只是列举法表示集合的某种规则.

在以往教材中, 两个集合相等的概念一般是在介绍了集合的包含关系之后, 利用 “两个集合相互包含”来定义集合相等的. 本教材作了不同的处理,根据集合论中的外延公理 (axiom of extension), 将两个集合相等定义为 “两个集合的组成元素完全相同”. 这样, 在学习包含关系之前, 就可以由此来验证两个构造比较简单的集合是否相等. 至于较为复杂的两个集合, 如何说明它们的元素完全相同, 这可能是相当困难的, 但其难度并不来源于集合相等的定义.

例 1 旨在说明什么叫有限集, 什么叫无限集, 以及如何说明一个集合是无限集.

例 2 旨在帮助学生初步熟悉常用数集的符号. 在高中阶段, 除了本节教材中提到的四个常用数集——自然集 $\mathbf{N}$ 、整数集 $\mathbf{Z}$ 、有理数集 $\mathbf{Q}$ 、实数集 $\mathbf{R}$ ,还有复数集 $\mathbf{C}$ . 本着“让学生少记一些符号和术语”的精神,以往教材中还有一些符号,如 ${\mathbf{N}}^{ * }\text{、}{\mathbf{Z}}^{ + }\text{、}{\mathbf{R}}^{ - }$ 等, 都未在本教材中列出.

空集的引入对学生来说可能有些突兀, 它的实际意义到学习集合运算的时候才能初步体现出来. 引入空集可以使集合的运算得以封闭. 例如, 有了空集, 两个集合的交集才总是一个集合.

第一课时的内容相对较少,可以利用剩余时间与学生互相熟悉,并且介绍课堂和作业常规等.

第二课时的内容是集合的表示方法, 主要内容是列举法、描述法与表达某些实数集合的区间表示法. 与以往教材不同的是, 本教材中把区间表示法从不等式一章提前到了集合这一节.

例 3 介绍如何用列举法表示集合. 在例 3 之前的文字中,提到了“不重复”“不考虑其元素的顺序”, 就是以往教材中所说的列举法表示集合时的“互异性”与“无序性”.

在例 3 下面的文字中,指出了列举法也可以用来表示一些无限集,并给出了其表示方法.

在用描述法表示集合时, 正如边框中所说明的, 所谓的“元素具有的共同特征”要从两个方面来解读:一是集合的元素都具有该特征, 二是不在此集合中的元素都不具有这个特征.

例 4 旨在进一步展示列举法和描述法各自的适用范围. 另外, 在第(2)小题中, 很多学生可能并不认为 2 被 3 除是余 2 的,所以教师在这个地方应注意讲解清楚“被 3 除余 2 是指减去 2 之后是 3 的倍数”.

区间记号的引入使得表示一些实数集合的子集变得更加方便, 无需引入一个新的符号来表示代表元. 需要注意的是,有些学生在学习完区间以后会把 $+ \infty$ 及 $- \infty$ 当成是两个新的实数, 前者大于已知的一切实数, 后者小于已知的一切实数, 这种理解是不正确的.

例 5 是用区间表示集合的一个初步的尝试.

数学对象之所以有意义, 是因为它们之间有一些联系, 并且可以进行适当的运算. 因此, 本节的第三和第四课时分别介绍集合之间的关系与集合的运算(交、 并、补).

第三课时的内容是集合之间的关系. 教材从分别代表实际问题、几何问题、代数问题和数论问题的四个例子中抽象出了共同的特征 ——一个集合的每个元素都是另一个集合的元素, 从而引出包含关系的定义, 并介绍了如何用文氏图来表示包含关系.

“空集是任何集合的子集”在教材中被书写为“规定”,这与学生的直观感觉是相符合的. 实际上, 从逻辑的角度来说, 按照包含关系的定义, 空集自然是任何集合的子集. 也可以用如下的方式来理解: “集合 $A$ 是 $B$ 的子集,是指 “不存在在 $A$ 中而不在 $B$ 中的元素’.” 这样,空集是任何集合的子集就非常自然了.

教材介绍了当集合 $A$ 是集合 $B$ 的子集时,如果 $A = B$ 不成立,就称 $A$ 是 $B$ 的真子集. 关于真包含关系的符号, 教材选择了更为简洁的“C”, 而没有选择“⫋”.

例 6 旨在帮助学生熟悉集合相等的概念, 同时复习用列举法表示时, 不考虑元素顺序这一规定.

例 7 的第( 2 )小题要求较高,难度较大,学生既要能在直观上判断,又要初步学会说理, 而说理的时候要紧扣包含关系的定义和描述法表示集合的本质.

例 8 通过列举一个比较简单的集合的子集, 初步渗透分类的思想. 本章中不打算介绍有限集的子集个数, 这个内容在乘法原理或二项式定理章节中展开似乎更加合适.

虽然第四课时“集合的运算”内容较多,但是交、并、补这三种运算都是足够直观的, 选择的例题都是在简单情境下进行集合运算.

例 9 展示了在数学中引入交集的一个作用, 也渗透了数形结合的思想.

并集定义中的“或”是需要谨慎对待的,因为日常生活中的“或”往往是排他的,而该定义中的“或”不是排他的,可以两者都成立.

例 10 旨在介绍如何用数轴来形象化地求两个实数集合的交集与并集. 在学生熟悉了求交集与并集的方法, 并能进行抽象的思考之后, 借助数轴并不是必要的.

例 11 是一个反问题, 有较高的难度. 解答中的第一段一一用元素是否在集合中来思考, 这是解题过程的核心内容, 我们可以引导学生说出并规范地表达这一思维过程. 相较而言, 题目的答案则是次要的.

本教材选择了上横线的记号 (如 $\bar{A}$ ) 作为补集的符号, 因此, 在使用补集符号时, 上下文中要交代清楚全集.

例 12 是在一个简单情境下进行集合的交、并、补运算的综合问题, 解答并不难, 但它反映了集合运算的德 - 摩根律. 类似地,练习 1.1(4) 的第 3 题反映了集合运算的分配律. 这些性质都不是本教材力图重点介绍的, 在学生学有余力的情况下, 教师可以在这些地方稍作展开.

### 注意事项

公理化的集合概念和教材中所介绍的朴素的集合概念有一些区别, 康托 (Cantor) 所开创的集合论实际上更多地倾向于前者, 它是用来精确地处理 “无穷” 这一概念的. 在高中数学的范围内, 不需要用到这样复杂而严格的概念, 本节内容的定位只是为之后的学习提供一种语言工具.

由于空集是任一集合的子集, 因此空集也是空集的子集. 所有的空集都是同一个集合.

教材第 7 页的边框将集合的包含关系与实数的大小关系做了一个类比. 这个类比有助于学生理解包含分为相等和真包含两种情况. 但是严格来说, 集合之间的包含关系和实数集的大小关系不同,任意两个实数都可以用符号“ $\leq$ ”来连接,但集合的“ $\subseteq$ ” 符号是不符合这一要求的.

教材第 9 页的交集的文氏图是用来强调两个集合的相互关系的. 事实上, 图 1-1-4 的第一个图已足以表示两个集合的所有情况, 包括某集合包含另一个集合, 也包括没有公共元素. 这里之所以分三种类型是因为想要直观地让学生感受到在一些特殊的情况下, 交集分别是什么. 在两个集合的关系未知的情况下, 用图 1-1-4(1) 中的文氏图来表示交集(有一些区域可以没有元素)是更加方便的选择. 对并集的直观表示也是同样的道理.

需要注意的是, 文氏图只是一个示意图. 此外, 用圆来表示集合的文氏图只适合用于表示少量 (个数不超过 3 个) 集合间的关系与运算.

### 教学建议

作为高中数学的起始课, “集合初步”旨在介绍一种较为严密、较少出现歧义的数学表达方式. 对集合性质的更加深入的研究将分散到以后的各个章节中, 在进行本节内容的教学时不建议教师加入未学过的内容.

建议将“集合的关系与运算”教学中所牵涉的对象集中在容易理解的实际生活中的例子、简单的数集或点集上, 方便学生更快、更好地熟悉集合的语言.

在教学时, 建议培养学生借助文氏图、数轴等工具进行直观想象的能力, 并关注学生在自然语言、符号语言及图形语言三者之间进行相互转换的能力.

要关注学生表达的规范性, 不能用教师的讲解来代替学生的口头表达, 更不能对学生的书面表达不提出任何要求. 在起始课上就关注学生的表达方式要远好于后期. 学生思维的严密性是教师在教学中要着力培养的.

#### 1.2 常用逻辑用语

### 教学重点

命题(真命题、假命题)的概念,充分条件,必要条件,充要条件,反证法:知道命题的概念, 会在简单情境下判断命题的真假, 并能用正确的方法说明命题为真或为假的理由. 借助推出关系理解充分条件、必要条件以及充要条件的含义, 并能在简单情境下作出准确的判断. 理解反证法, 会用反证法证明一些典型的命题.

### 内容分析

本节和“集合初步”类似, 也是为后续章节的学习奠定思维和语言的基础, 帮助学生能用规范的方式更好地与他人沟通交流. 在思维方法上, 推出关系与反证法是今后数学学习的基础; 而在语言上, 充分条件与必要条件是与他人沟通的必要术语.

“命题”同“集合”类似,也是一个无法用简单语言严格定义的概念. 命题的相关概念有很多, 如简单命题、复合命题、条件命题等. 本教材则作了一个较为狭义的界定, 规定“用自然语言、符号或式子表达, 且可以判断其真假的语句叫做命题”.

例 1 中, (3) 是祈使句, (6) 是疑问句, 它们都不是命题. (7) 是含有变元的陈述句, 在本教材的体系中, 它与命题的关系类似解析式与数的关系, 只有规定了变元的值, 它才是一个命题.

而(1)(2)(4)(5)都是命题. 其中,(1)和(2)采用了“所有的 $S$ 都是(不是) $P$ ”的形式来表述；(4)和(5)采用了“若 $\alpha$ ,则 $\beta$ ”的形式,数学中这种形式的命题更为常见.

本教材中对形如“若 $\alpha$ ,则 $\beta$ ”的真命题用“推出”这一关系来描述,这一关系是数学中的逻辑推理的基础.

要说明一个形如“若 $\alpha$ ,则 $\beta$ ”的命题是真命题,和说明集合之间的包含关系的方法是一致的, 也就是要说明每一个满足条件的变元都满足结论. 而要说明一个形如 “若 $\alpha$ ,则 $\beta$ ”的命题是假命题,只需要举出一个满足条件、但不满足结论的例子即可.

例 2 通过将一些命题转化为“若 $\alpha$ ,则 $\beta$ ”的形式,进一步使学生熟悉判断其真假的方法.

在本教材中, 充分条件和必要条件这两个概念是建立在推出关系的基础上的, 在相应的定义中“条件”二字仅仅出现在这两个术语上.

教材将推出关系和“充分条件、必要条件”分在两个课时,可以分散难点.

例 3 旨在通过较为简单的实际例子使学生熟悉如何分辨充分条件与必要条件, 并对说理也提出了要求.

例 4 通过一个简单的例子来说明如何证明一个陈述句是另一个陈述句的充要条件.

教材选择了“反证法”作为第三课时的内容, 其原因有三: 一是反证法是证明数学命题的一个重要方法; 二是反证法可以承载课程标准中“能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定”“能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定”这两个要求；三是反证法的教学可以弥补课程标准中缺少 “逆否命题” 所带来的一些证明技巧上的缺失.

例 5 是一个简单的运用反证法证明命题的例子, 旨在使学生了解反证法的思想以及反证法的表达方式. 另外, 例 5 也为之后的例 7 作了必要的铺垫.

例 5 之后, 教材用一个表格(表 1-2)呈现了一些陈述句的否定形式. 陈述句的否定之否定就是其本身.

例 6 涉及表格 (表 1-2) 中的 “ $\alpha$ 或 $\beta$ ” 的否定.

例 7 是历史上的一个著名命题及其证明. 传说毕达哥拉斯学派的一个门人通过证明等腰直角三角形的斜边长与直角边长的比例不可公度说明了无理数的存在,教材引用的就是他的证明方法.

本节的目的是让学生初步了解反证法的思想和表达方式, 后续章节的学习中会不断接触到反证法说理或证明的过程, 因此不必在此处多作展开.

### 注意事项

在使用“推出”关系时,我们甚至不需要要求“若 $\alpha$ ,则 $\beta$ ”中的 $\alpha$ 能够成立. 在使用反证法时, 我们通常假设一个实际上不可能成立的陈述句, 再利用这个陈述句推出矛盾, 以此来说明所给出的假设是不可能成立的.

在高中数学中,大部分的定理、性质都是以 “若 $\alpha$ ,则 $\beta$ ” 的形式来表述的,充分条件、必要条件也是针对 “若 $\alpha$ ,则 $\beta$ ”形式的命题而言的. 但教师需要了解数学中的命题不仅仅只有这种形式,也有 “存在 $\alpha$ ,使得 $\beta$ 成立” 的形式.

当 $\alpha$ 能推出 $\beta$ 时,称 “ $\alpha$ 是 $\beta$ 的充分条件” 是没问题的,但是称 “ $\beta$ 的充分条件是 $\alpha$ ” 则不太妥当,应当称作“ $\beta$ 的一个充分条件是 $\alpha$ ”.

在反证法中, 所谓“得到矛盾”是指发现了某个命题既是真命题, 又是假命题. 这个命题可以是假设的陈述句 (假设其为真, 但随后推理得到它为假), 也可以是前提条件, 或其他已知为真的命题, 如定理、性质等(已知其为真, 但随后推理得到它是假命题).

### 教学建议

同上节“集合初步”一样, 本节的教学目的在于使学生能用规范的语言来表达自己的思想, 在沟通交流时减少歧义. 因此, 在教学中, 关注学生的口头与书面表达方式是非常重要的.

由于本节内容是预备知识, 不应在内容上 “深挖洞”. 对于逻辑用语的进一步的学习要求是要经过一段较长的时间的规范表达与思考的训练之后, 学生才能逐步达到的, 不适合在高中一年级开学之初就进行灌输.

在学习了逻辑用语之后, 解决问题时建议要求学生用规范的语言来书写.

#### 三、参考答案或提示

##### 1.1 集合初步

练习 ${1.1}\left( 1\right)$

1. (1)能组成集合,是有限集. (2)能组成集合,是无限集. (3)不能组成集合, 因为 “比较大” 标准不明确.

2. (1) $\notin$ . (2) $\in$ . (3) $\in$ . (4) $\in$ .

练习 1.1 (2)

1. (1) $\{ 1,2,5,{10}\} .\;$ (2) $\{  - 3, - 2, - 1,0,1,2,3\}$ .

2. (1) $\{ n \mid  n = {2k}, k \in  \mathbf{Z}\}$ . (2) $\{ \left( {x,0}\right)  \mid  x \in  \mathbf{R}\}$ .

3. (1) $( - 1,5\rbrack .\;\left( 2\right) \left( {-\infty , - 3}\right)$ .

练习 $\mathbf{{1.1}\left( 3\right) }$

1.(1)该说法正确. $A \subseteq  B$ 的意义是 “A 中的每一个元素都是 $B$ 的元素”,因此 $a$ 是 $B$ 的元素.

(2)该说法错误. 例如, $A = \{ 0\} , B = \{ 0,1\} , C = \{ 0,2\}$ . 满足 $A \subseteq  B$ 且 $A \subseteq  C$ , 但 $B$ 与 $C$ 不相等.

(3)该说法正确. 由 $A \subset  B$ 及 $B \subseteq  C$ ,可知 $A \subseteq  C$ . 另一方面, $A$ 不可能等于 $C$ , 否则将导致 $C \subset  B$ 且 $B \subseteq  C$ ,这意味着 $C \subset  B$ 且 $B = C$ ,这是不可能的. 因此 $A \subset  C$ .

2.(1)C. (2)二. (3)=.

3. 满足条件的集合 $M$ 共有 6 个,分别为 $\{ a, b\} ,\{ a, c\} ,\{ a, d\} ,\{ a, b, c\}$ , $\{ a, b, d\} ,\{ a, c, d\} .$

练习 ${1.1}\left( 4\right)$

1. (1) $A$ . (2) $\varnothing$ . (3) $U$ .

2. $\left( {-\infty , - 2\rbrack \cup (1, + \infty }\right)$ .

3. (1) $\left( {A \cap  B}\right)  \cup  C = \left( {A \cup  C}\right)  \cap  \left( {B \cup  C}\right)  = \{ 2,3,4,5,6\}$ .

(2) $\left( {A \cup  B}\right)  \cap  C = \left( {A \cap  C}\right)  \cup  \left( {B \cap  C}\right)  = \{ 3,4,5,6\}$ .

习题 1.1

A 组

1. $\left( 1\right) \{ 2,3,5,7\} .\;\left( 2\right) \{  - 1,0,1,2\}$ .

2. (1) $\{ n \mid  n = {3k} + 1, k \in  \mathbf{N}\}$ . (2) $\{ x \mid  1 < x < {10}\}$ . (3) $\{ \left( {x, y}\right)  \mid  {xy} = 0\}$ .

3. C.

4. (1) $A \subset  B.\;$ (2) $A = B$ .

5. 当 $A \subset  B$ 时,1是 $B$ 的元素,因此 ${1}^{2} - 3 \times  1 + a = 0$ ,得 $a = 2$ . 而当 $a = 2$ 时, $B = \left\{  {x \mid  {x}^{2} - {3x} + 2 = 0}\right\}   = \{ 1,2\}$ ,此时 $A \subset  B$ 成立. 因此满足条件的 $a$ 存在,且 $a$ 的值为 2 .

6. $A = \left\{  {\frac{1}{2},1}\right\}$ .

7. $A \cap  B = \left( {-\infty ,2}\right) , A \cap  C = (5,7\rbrack , A \cap  \left( {B \cap  C}\right)  = \varnothing$ .

8. $A \cap  B = \{ \left( {1,0}\right) ,\left( {-2,3}\right) \}$ .

9. $\lbrack 1, + \infty )$ .

B 组

1. $a =  - 1$ 或 0 .

2. $B \subset  A$ .

一方面,对于集合 $B$ 中任意给定的元素 $b, b$ 都可以表示为 ${4n} - 1$ 的形式,其中 $n$ 是整数,因此 $b$ 也可以表示为 $2\left( {{2n} - 1}\right)  + 1$ 的形式. 因为 $n$ 是整数,所以 ${2n} - 1$ 也是整数,因此 $b \in  A$ . 从而 $B \subseteq  A$ .

另一方面, $1 = 2 \times  0 + 1$ ,故 $1 \in  A$ ,但解 $1 = {4n} - 1$ ,得 $n = \frac{1}{2} \notin  \mathbf{Z}$ ,因此 $1 \notin  B$ . 从而 $A$ 不是 $B$ 的子集.

综上所述, $B \subset  A$ .

3. 存在, $a = 0,\frac{2}{3}$ 或 -1 .

4. $x =  - 2,0$ 或 2.

当 $x =  - 2$ 时, $A = \{  - 2,1,4\} , B = \{ 1,4\}$ ; 当 $x = 0$ 时, $A = \{ 0,1,4\} , B = \{ 0,1\}$ ; 当 $x = 2$ 时, $A = \{ 1,2,4\} , B = \{ 1,4\}$ .

##### 1.2 常用逻辑用语

练习 ${1.2}\left( 1\right)$

1. 例如: 一个星期有七天, 是一个真命题; 太阳是地球的卫星, 是一个假命题.

2.(1)假命题. 2 是偶数,也是素数.

(2)真命题. 根据真子集的定义.

(3)假命题. 0 不是一个集合.

(4)假命题. 例如, $A = B = \{ 0\} , A$ 是 $B$ 的子集, $B$ 也是 $A$ 的子集.

3. (1) $\alpha  \Rightarrow  \beta .\;$ (2) $\beta  \Rightarrow  \alpha .$

### 练习 1.2(2)

1. (1)必要非充分. (2)充分非必要. (3)充要.

2. $\lbrack 4, + \infty )$ .

练习 1.2(3)

1. 假设结论“ $n$ 是奇数”不成立,即假设 $n$ 是偶数. 由 $n$ 是偶数,可设 $n = {2k}$ , $k \in  \mathbf{Z}$ . 于是 ${n}^{3} = {\left( 2k\right) }^{3} = 8{k}^{3} = 2\left( {4{k}^{3}}\right)$ ,得 ${n}^{3}$ 是偶数,这与已知条件 ${n}^{3}$ 是奇数矛盾. 所以假设不成立,即 $n$ 是奇数.

2. 假设结论“ $a \neq  b$ 或 $b \neq  c$ ”不成立,即假设“ $a = b$ 且 $b = c$ ”. 由相等关系的传递性,可知 $a = c$ ,这与已知条件 $a \neq  c$ 矛盾. 所以假设不成立,即 $a \neq  b$ 或 $b \neq  c$ .

习题 1.2

A 组

1. (1) 是命题. (2) 是命题. (3) 不是命题. (4) 是命题. (5) 是命题.

2.(1)是真命题. 设 $a = {2m} + 1, b = {2n} + 1, m\text{、}n \in  \mathbf{Z}$ ,则 $a + b = 2\left( {m + n + 1}\right)$ , $m + n + 1 \in  \mathbf{Z}$ ,故 $a + b$ 是偶数.

(2)是假命题. 等腰梯形的一组对边平行,且两对角线相等.

(3)是真命题. 由 $A \cap  B = A$ ,可得 $A \subseteq  B$ ,故 $A \cup  B = B$ .

3. $\alpha  \Rightarrow  \beta ,\alpha  \Leftrightarrow  \gamma ,\beta  \Leftarrow  \gamma$ .

4.(1)必要非充分. (2)充分非必要. (3) 必要非充分. (4) 充要. (5) 必要非充分.

5. 不等价. 当 $l = m = 1$ 时, $l + m = 2$ 是偶数,但是 “ $l\text{、}m$ 都是偶数” 不成立.

6. 充分性: 设对角线 ${AC}$ 与 ${BD}$ 交于点 $O$ .

因为 ${AB}//{CD}$ ,所以 $\angle {DCO} = \angle {BAO}$ , $\angle {CDO} = \angle {ABO}$ .

又 ${AB} = {CD}$ ,所以 $\bigtriangleup  {AOB} \cong   \bigtriangleup  {COD}$ ,

于是 ${AO} = {CO}$ , ${BO} = {DO}$ .

必要性: 由 ${AO} = {CO},{BO} = {DO}$ 及 $\angle {AOB} = \angle {COD}$ ,可得 $\bigtriangleup {AOB}$ 与 $\bigtriangleup {COD}$ 全等,故 $\angle {BAO} = \angle {DCO}$ ,从而 ${AB}$ 与 ${CD}$ 平行.

同理, ${AD}$ 与 ${BC}$ 平行.

所以四边形 ${ABCD}$ 是平行四边形.

综上所述, “四边形 ABCD 是平行四边形”是 “四边形 ABCD 的对角线互相平分” 的充要条件.

B 组

1. (1)真命题. 理由略. (2)假命题. 理由略.

2. 一个充要条件为 “ $a \leq  1$ ”; 一个充分非必要条件可以是 “ $a =  - 1$ ”; 一个必要非充分条件可以是 “ $a \leq  2$ ”.

3. B.

4. (1) $m \leq   - 4$ .

(2) $m > \frac{1}{4}$ .

### 复习题

A 组

1.(1)\{鼠,牛,虎,兔,龙,蛇,马,羊,猴,鸡,狗,猪\}. (2) \{红,黄\}.

2. (1) $\{ \left( {x, y}\right)  \mid  y = x, x > 0\}$ . (2) $\{ n \mid  n = {3k}, k \in  \mathbf{Z}\}$ .

3. (1) 必要非充分. (2) 充分非必要.

4. 所有子集共有 8 个: $\varnothing ,\{  - 5\} ,\{ 1\} ,\{ 4\} ,\{  - 5,1\} ,\{  - 5,4\} ,\{ 1,4\}$ , $\{  - 5,1,4\}$ .

5. $A \cup  B = \left( {-\infty , - 2}\right)  \cup  \left( {-2, + \infty }\right)$ ,而 $A \cap  B = \varnothing$ .

6. $\bar{A} = ( - \infty , - 1\rbrack  \cup  \lbrack 2,3)$ .

7. $p = 2, q = 1, r =  - 2$ .

8. $\left( {-\infty ,1}\right)$ .

9. A.

10. 假设该梯形 ${ABCD}$ 是等腰梯形,其中 ${AB}\text{、}{CD}$ 分别是上、下底. 因为点 $A$ 、 $B$ 到直线 ${CD}$ 的距离相等,且 ${AD} = {BC}$ ,故 $\angle {ADC} = \angle {BCD}$ ,从而三角形 ${ADC}$ 与三角形 ${BCD}$ 全等,故 ${AC} = {BD}$ ,但这与该梯形的对角线不相等矛盾.

因此该梯形不是等腰梯形.

B 组

1. C.

2. 充分非必要, 充分非必要.

3. $A = \{ 3,5,{11},{13}\} , B = \{ 7,{11},{13},{19}\}$ .

4. $( - \infty ,3\rbrack$ .

5. $\left( {-\infty , - 2}\right)  \cup  \lbrack 5, + \infty )$ .

6. 存在, $a = 1$ 或 $- \frac{1}{8}$ . 当 $a = 1$ 时,对应的两个子集为 $\varnothing$ 及 $\left\{  \frac{2}{3}\right\}$ ; 当 $a =  - \frac{1}{8}$ 时, 对应的两个子集为 $\varnothing$ 及 $\left\{  \frac{4}{3}\right\}$ .

7. 假设 $\sqrt[3]{2}$ 是有理数,则可设 $\sqrt[3]{2} = \frac{m}{n}$ ,其中 $m$ 与 $n$ 是互素的正整数. 于是 $m = \sqrt[3]{2}n$ ,两边立方,得 ${m}^{3} = 2{n}^{3}$ . 所以 ${m}^{3}$ 是偶数,于是 $m$ 也是偶数. 设 $m = {2k}$ , $k \in  \mathbf{Z}$ ,则 $4{k}^{3} = {n}^{3}$ ,所以 ${n}^{3}$ 也是偶数,于是 $n$ 也是偶数. 这样 $m$ 与 $n$ 有公因数 2,与 $m\text{、}n$ 互素的假设矛盾.

所以假设不成立,即 $\sqrt[3]{2}$ 是无理数.

### 拓展与思考

1. 设 $a = {3m} + {r}_{1}, b = {3n} + {r}_{2}, m\text{、}n \in  \mathbf{Z},{r}_{1}\text{、}{r}_{2} \in  \{ 0,1,2\}$ .

${ab} - 1 = \left( {{3m} + {r}_{1}}\right) \left( {{3n} + {r}_{2}}\right)  - 1 = {9mn} + {3m}{r}_{2} + {3n}{r}_{1} + {r}_{1}{r}_{2} - 1 = 3\left( {{3mn} + m{r}_{2} + n{r}_{1}}\right) \; + \left( {{r}_{1}{r}_{2} - 1}\right)$ ,故 ${ab} - 1$ 是 3 的倍数,当且仅当 ${r}_{1}{r}_{2} - 1$ 是 3 的倍数.

假设 ${r}_{1} \neq  {r}_{2}$ ,不妨设 ${r}_{1} < {r}_{2}$ ,那么只有 $\left\{  \begin{array}{l} {r}_{1} = 0,\left\{  {{r}_{1} = 0,\left\{  {{r}_{1} = 1,}\right. }\right. \\  {r}_{2} = 1;\left\{  {{r}_{2} = 2;\left\{  {{r}_{2} = 2}\right. }\right.  \end{array}\right.$ 这三种情况,此时 ${r}_{1}{r}_{2} - 1$ 分别为 $- 1\text{、} - 1\text{、}1$ ,都不是 3 的倍数,这与 ${ab} - 1$ 是 3 的倍数矛盾. 因此假设不成立,故 ${r}_{1} = {r}_{2}$ ,即 $a$ 与 $b$ 被 3 除的余数相同.

2. (1) 由于 $S$ 非空,故 $S$ 中一定有元素. 设其中一个元素为 $a$ ,由题意, $0 = a - \; a$ 一定是 $S$ 的元素. 另一方面, $S = \{ 0\}$ 满足条件,因此任何非零实数都可以不是 $S$ 的元素.

(2)假设 $S$ 中有非零元素 $m$ ,则 $m + m = {2m}$ , ${2m} + m = {3m}$ ,依次类推,形如 ${mk}\left( {k \in  \mathbf{N}, k > 0}\right)$ 的所有实数都是 $S$ 的元素,与 $S$ 是有限集矛盾. 因此 $S = \{ 0\}$ .

(3)首先,类似(2),5 的正整数倍一定是 $S$ 的元素.

其次,由于 $- x = 0 - x,0 \in  S$ ,故当 $x \in  S$ 时,一定有 $- x \in  S$ ,因此所有形如 ${5k}\left( {k \in  \mathbf{Z}}\right)$ 的数都是 $S$ 的元素.

最后,假设 $S$ 中有形如 ${5k} + r\left( {k \in  \mathbf{Z}, r \in  \left( {0,5}\right) }\right)$ 的元素,那么 $\left( {{5k} + r}\right)  - {5k} = \; r \in  S$ ,这与 $S$ 中最小的正数为 5 矛盾.

综上所述, $S = \{ n \mid  n = {5k}, k \in  \mathbf{Z}\}$ .

#### 四、相关阅读材料

### 参考文献

[1] COPI I M. Introduction to Logic(13th edition)[M]. Prentice Hall, 2009.

[2] HALMOS P R. Naive Set Theory[M]. Springer, 1998.